که با معادله^ء برابر است.
با به­کار بردن مشتق هوموتوپی در دو طرف معادله (۱۷-۳) معادله تغییر یافته^ء مرتبه یک به دست خواهد آمد.
با دو بار مشتق­گیری نسبت به از دو طرف معادله (۳-۱۷)داریم،

که حل معادله بالا به صورت زیر به­دست می ­آید،
به طور مشابه سری هوموتوپی مرتبه یک، به­شکل زیر می­باشد
و هم­چنین سری مرتبه دوم هوموتوپی به­شکل زیر است
اگر در معادلات (۳-۲۲) و (۳-۲۳) مقدار قرار داده شود همان معادلات (۳-۱۵) و (۳-۱۶) به­دست می­آیند. کاملاً مشخص است که انتخاب مناسب پارامتر ، می ­تواند همگرایی سری­های هوموتوپی را تضمین نماید. در حقیقت این پارامتر کمکی است که برای اولین بار برای ما روشی به ارمغان آورد که همگرایی جواب را تضمین می­ کند. لذا پارامتر را پارامتر کنترل کننده^ء همگرایی می­نامیم.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

۵-۳: قضایای آنالیز هوموتوپی
برای حل مسائل به روش آنالیز هوموتوپی، به مفاهیمی از ریاضی نیاز داریم که بدون اطلاع از آن حل معادلات بسیار مشکل می­ شود به­ طوری که ممکن است برای حل مسائل هوموتوپی نیازمند صرف زمان بسیار زیادی برای یافتن معادلات تغییر یافته باشیم. لذا در این­جا سعی بر آن است که بعضی تعاریف و قضایای مفید آنالیز هوموتوپی ارائه گردد.
:۱-۵-۳تعریف
فرض کنیدφ تابعی از پارامتر هوموتوپیp باشد، عبارت
مشتق هوموتوپی مرتبه m-ام تابع φ نامیده می­ شود، ۰≤m یک عدد طبیعی است.
۲-۵-۳: تعریف
فرض کنید [u]=0Ν یک معادله^ء غیر خطی باشد و φ تابع هوموتوپی پارامترp باشد که سری مک لورن آن به صورت زیر می­باشد
آن­گاه خانواده^ء معادله­های ، برای ، را معادلات تغییر یافته^ء مرتبه صفر N(u)=0 می­نامیم.
که درp=1 با معادله^ء اصلی N(u)=0 هم ارز می­ شود.

سری (۳-۲۵) سری هوموتوپی گفته می­ شود و سری (۳-۲۶) سری جواب هوموتوپی نامیده می­ شود و معادلات از معادلات تغییر شکل یافته مرتبه k ام به­دست می­آیند.
۳-۵-۳: قضیه
فرض کنید وg دو تابع مستقل از پارامتر هوموتوپیp باشند. برای سری­های هوموتوپی ، داریم
اثبات
چون مستقل از هستند و که با (۲۴-۳) تعریف می شود، یک عملگر خطی است لذا
:۴-۵-۳قضیه
برای سری­های هوموتوپی

روابط زیر برقرارند
(الف
(ب
(پ
(ت
اثبات
الف)بنابر قضیه تیلور، ضرایب یکتا ، از سری مکلورن به صورت زیر به­دست می­آیند

که با بهره گرفتن از تعریف اثبات تمام است.∎
ب)رابطه زیر برقرار است
بنا به (الف)نتیجه می­ شود که
∎.
پ) بنا بر قاعده لایب نیتز، برای مشتق­گیری از حاصل ضرب، رابطه زیر برقرار است
با توجه به تعریف (۳-۲۴)،
به­ طور مشابه ∎.
ت) فرض کنید Φ و، بنا بر (پ) داریم
و به­ طور مشابه =∎
: ۵-۵-۳قضیه
فرض کنیدL یک عملگر خطی غیر وابسته بهp باشد. داریم