که ، محل قرارگیری آرایه ام نسبت به آنتن مرجع، و بردار ، برابر با بردار آهستگی است که به شکل زیر تعریف می گردد:
(۴- ۱۷)
که در آن و به ترتیب زاویه افقی و زاویه ارتفاع می باشد(رفرنس داده نشده)
همان طور که می دانیم، اندازه بردار ، معکوس سرعت انتشار موج می باشد. در صورت ضرب مقادیر بردار جهت دهی المان های ام دو آرایه در دو فرکانس متفاوت، حاصل به صورت زیر می باشد:
(۴- ۱۸)
(۴- ۱۹)
در صورتی که (برابر بودن بردار آهستگی مربوط به دو آرایه)، معادله فوق به شکل زیر خواهد بود:
(۴- ۲۰)
که در واقع معادل با بردار آهستگی همان آنتن، ولی در فرکانس می باشد. با توجه به نتایج بالا، ماتریس انتقال ، همانند قبل به شکل زیر خواهد بود:
(۴- ۲۱)
و در نتیجه
(۴- ۲۲)
(۴- ۲۳)
و ، می بایست بردار آهستگی معتبر باشد. به منظور محاسبه ، به گونه ای که دارای مقداری معتبر باشد، با توجه به روابط قبل داریم:
(۴- ۲۴)
که در آن به شکل زیر تعریف می گردد:
(۴- ۲۵)
به ازای ، آن گاه می گردد و معادله فوق دارای معتبری است اما در صورتی که آن گاه ، یک بردار آهستگی معتبر نمی باشد. چرا که :
(۴- ۲۶)
به ازای ، حالت تساوی برقرار می گردد، اما به ازای همواره کوچکتر و معکوس سرعت انتشار بوده و را نمی توان به عنوان یک بردار آهستگی معرفی نمود. اما در بعضی شرایط می توان را به عنوان بردار آهستگی معتبر تهیه نمود، به گونه ای که رابطه زیر برقرار باشد:
(۴- ۲۷)
با فرض این که ، باشد می توان را به صورتتعریف نمود. بنابراین خواهیم داشت:
(۴- ۲۸)
در صورتی که مشخصات فضایی آرایه، دارای هر سه بعد باشد، آن گاه مختصات فضایی در جهت ، از یکدیگر مستقل بوده و بردار ، می بایست دقیقاً برابر با باشد و در این حالت جوابی معتبر برای وجود ندارد. اما در حالتی که مختصات آرایه، یک بعدی یا دو بعدی باشد، همواره مقدار معتبری وجود دارد که در روابط بالا صدق نموده و هم چنین . در این صورت مقدار بردار جهت دهی برابر با خواهد شد.
۴-۵- تصویر در راستای زیرفضای سیگنال
در عمل ماتریس همبستگی ، که در محاسبات اعمال می گردد وجود نداشته و می بایست تخمینی از آن را به جای مقدار واقعی آن در محاسبات اعمال نمود. به منظور محاسبه این تخمین می بایست خروجی داده های آنتن ها را به بلوک هایی مشخص از نمونه ها (شامل مثلاً بلوک) که هر بلوک دارای نمونهمی باشد، تقسیم نموده، سپس از هر بلوک با نقطه گرفته شود. در حقیقت تعداد نقطه برابر با تعداد نمونه های هر بلوک است. بنابراین اگر برابر با نمونه بلوک ام در بین فرکانسی باشد، داریم:
(۴- ۲۹)
از روی تخمین زده شده، می بایست مقادیر و ، به وسیله تجزیه به بردارهای ویژه حاصل گردد. راندمان محاسبه تخمین زاویه ورود به مقدار بسیار زیادی، به میزان دقیق بودن تخمین ماتریس همبستگی، بستگی دارد. کیفیت تخمین ماتریس همبستگی به طور کامل به تعداد بلوک ها ، ها، و ، وابسته می باشد که معمولاً به وسیله پردازنده آنتن گیرنده، قابل کنترل نمی باشد. اما به وسیله اعمال عملگر[۱۰۶] بر روی داده ها، می توان مقداری از خطای حاصل شده در مراحل تخمین را کاهش داده و را با خطای کمتری تولید نمود. همان گونه که قبلاً مطرح گردید، بردار تصویر ، به صورت زیر قابل تعریف می باشد:
(۴- ۳۰)
در حقیقت، ، تصویر در راستای فضای صفر بردار ، می باشد. سپس به منظور ایجاد ، به جای قرار دادن ، آن را با جایگذاری می نماییم که با عبارت زیر برابر خواهد بود:
(۴- ۳۱)
با این جایگذاری، میانگین مربعات خطا کاهش می یابد.
اثبات:
فرض می کنیم و ، برابر با مقادیر تخمین زیرفضای سیگنال و نویز باشد، می توان این تخمین را به صورت حاصل جمع مقدار صحیح به علاوه مقداری خطا در نظر گرفت:
(۴- ۳۲)
(۴- ۳۳)
که و ، به ترتیب رنج و ، می باشند و و ، ماتریس های خطا بوده و به شکل زیر تعریف می گردند:
(۴- ۳۴)
(۴- ۳۵)
که عملگر ، کرنل زیرفضای مورد نظر را تولید می کند و ، رنج زیر فضا را تولید می نماید. در صورتی که تعداد نمونه ها بسیار زیاد باشد، می توان فرض نمود که
(۴- ۳۶)
(۴- ۳۷)
در عبارات فوق نرم فربنیوس می باشد.
با در نظر گرفتن ، به ازای ( یکی از زوایای ورود است) داریم:
(۴- ۳۸)
دقت شود که از جمله با مرتبه دوم صرف نظر گردیده است. در عبارت بالا، برد برابر با برد ماتریس می باشد. در حقیقت ترم های دوم و سوم، مانع از صفر شدن یکی از سطرهای ماتریس ، به ازای می گردند. با اعمال ماتریس در عبارت بالا، ترم دوم هیچ گونه تغییری نمی کند. چون و می باشد، در حقیقت
(۴- ۳۹)
اما با اعمال در عبارت سوم داریم:
|
[شنبه 1401-04-04] [ 10:44:00 ب.ظ ]
|
